Teorema del Límite Central

26-03-2025

Repaso

Sea \(X_1, X_2, \dots, X_n\) una sucesión de variables aleatorias i.i.d. con esperanza finita \(\mu\) y varianza finita \(\sigma^2\), y \(\bar{X}_n = \frac{X_1 + X_2 + \dots + X_n}{n}\).

Entonces, cuando \(n \to \infty\),

\[ \mathbb{P} \left( \frac{\sqrt{n} (\bar{X}_n - \mu)}{\sigma} \leq x \right) \to \Phi(x) \quad \text{para todo } x \in \mathbb{R} \]

Ejercicio

Desarrollar el ejemplo 3, generando N= 100, 500, 1000 realizaciones de la sucesión del Error normalizado y construir histogramas/estimación de densidades con los 100, 500, 1000 valores obtenidos cuando M = 500 y 1000. Comparar los histogramas/estimación de densidades así obtenidos con la densidad de una distribución normal centrada con varianza igual a Var(U_1), U_1 ~ Uniforme(0,1). Interpretar los resultados obtenidos.

Ejercicio - Solución para N = 1000

N <- 100 
M <- 1000

semillas <- sample(1:10000,100,replace=F) #Obtenemos 1000 semillas

df <- do.call(rbind, lapply(semillas, genera_simulacion, M = M))
df <- df |> filter(M %in% c(1, 500, 1000))

ggplot(df) +
  geom_histogram(aes(x = normerror, y=after_stat(density)), fill = "blue") +
  labs(title = paste("Distribución de las medias muestrales"),
       x = "Media Muestral", y = "Frecuencia") +
  theme_minimal() +
  facet_wrap(~ M, nrow=2)

Visualización TCL con U(0,1)

import { aq, op } from '@uwdata/arquero'

my_data = aq.from(transpose(ojs_data))

viewof n = Inputs.range(
  [1, 400], 
  {value: 1, step: 1, label: "Tamaño muestra:"}
)

normalData = Array.from({ length: 100 }, (_, i) => {
  let x = -3 + (i / 99) * 6; // Range from -3 to 3
  return { x, y: Math.exp(-0.5 * x * x) / Math.sqrt(2 * Math.PI) };
});

point = Array.from({length: 1}, (_, i) => {return {x: 0, y: 0.5}})

Plot.plot({
    width: 1000,
    height: 500,
    y: {grid: true},
    x: {round: true},    
    marks: [
      Plot.rectY(my_data, 
                Plot.binX({y: (a, bin) => {
                              return a.length / (10000*(bin.x2 - bin.x1));
                           }}, 
                          {x: {value: n.toString(), 
                               inset: 0,
                               thresholds: d3.range(-3,3 + 0.11, 0.11),
                               domain: [-3, 3],
                               }})),
      Plot.ruleY([0]),
      Plot.line(normalData, { x: "x", y: "y", stroke: "red" }), //Normal
      Plot.dot(point, {x: "x", y: "y", r: 0})    
    ]
})

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