Teorema del Límite Central

26-03-2025

Repaso

Sea \(X_1, X_2, \dots, X_n\) una sucesión de variables aleatorias i.i.d. con esperanza finita \(\mu\) y varianza finita \(\sigma^2\), y \(\bar{X}_n = \frac{X_1 + X_2 + \dots + X_n}{n}\).

Entonces, cuando \(n \to \infty\),

\[ \mathbb{P} \left( \frac{\sqrt{n} (\bar{X}_n - \mu)}{\sigma} \leq x \right) \to \Phi(x) \quad \text{para todo } x \in \mathbb{R} \]

Ejercicio

Desarrollar el ejemplo 3, generando N= 100, 500, 1000 realizaciones de la sucesión del Error normalizado y construir histogramas/estimación de densidades con los 100, 500, 1000 valores obtenidos cuando M = 500 y 1000. Comparar los histogramas/estimación de densidades así obtenidos con la densidad de una distribución normal centrada con varianza igual a Var(U_1), U_1 ~ Uniforme(0,1). Interpretar los resultados obtenidos.

Ejercicio - Solución para N = 1000

N <- 100 
M <- 1000

semillas <- sample(1:10000,100,replace=F) #Obtenemos 1000 semillas

df <- do.call(rbind, lapply(semillas, genera_simulacion, M = M))
df <- df |> filter(M %in% c(1, 500, 1000))

ggplot(df) +
  geom_histogram(aes(x = normerror, y=after_stat(density)), fill = "blue") +
  labs(title = paste("Distribución de las medias muestrales"),
       x = "Media Muestral", y = "Frecuencia") +
  theme_minimal() +
  facet_wrap(~ M, nrow=2)

Visualización TCL con U(0,1)

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